Question

如圖，P是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，AB=

2

AA1．
（1）求證：A₁E∥平面PBC；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出直線所在的向量與平面的法向量，根據(jù)向量之間的運(yùn)算得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，所以可得直線與平面平行．
（2）求出直線所在的向量與平面的法向量的夾角，再根據(jù)線面角與向量之間的夾角關(guān)系，得到線面角．

解答：解：為了計(jì)算方便不妨設(shè)AA₁=2，則AB=

2

，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以A₁（

2

，0，1），E（

2

，

2

2

，0），A（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），C（0，

2

，0），P（

2

2

，

2

2

，1）．
所以

BC

=(-

2

，0，0)，

PB

=（

2

2

，

2

2

，-1），

A1E

=(0，

2

2

-1)，

PA

=(

2

2

，-

2

2

，-1)．
（1）設(shè)平面PBC的法向量為：

v

=(x，y，z)，則有

v •  BC =0 v • PB =0

，即

x=0 x+y- 2 z=0

，
不妨取z=1，則

v

=(0，

2

，1)，
所以

A1E

•

v

 =1-1=0，
所以

A1E

⊥

v

，
又因?yàn)锳₁E?平面PBC，
所以A₁E∥平面PBC．
（2）由（1）可得平面PBC的法向量為：

v

=(0，

2

，1)，
所以|cos＜

v

，

PA

＞|=|

v • PA

| V || PA |

|= |

-2

6

|=

6

3

．
設(shè)直線PA與平面PBC所成角θ，
則sinθ=|cos＜

v

，

PA

＞|=

6

3

，
所以直線PA與平面PBC所成角的大小為arcsin

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要可出利用向量運(yùn)算證明線面平行于線面角，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立空間直角坐標(biāo)系，借助于向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角、空間距離等問(wèn)題．