已知函數(shù)f（x）=-lnx，x∈（0，e）．曲線y=f（x）在點(diǎn)（t，f（t））處的切線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．
【答案】分析：由f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=t代入導(dǎo)函數(shù)即可求出切線的斜率，把t代入f（x）即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率表示出切線的方程，然后令y=0得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，令x=0得到點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，根據(jù)t的范圍得到求出的A的橫坐標(biāo)和B的縱坐標(biāo)都大于0，然后利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積S，得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，求出S的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，得到函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到S的最大值．
解答：解：由已知，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為．
令y=0，得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xA=t（1-lnt），
令x=0，得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yB=1-lnt，
當(dāng)t∈（0，e）時(shí)，xA＞0，yB＞0，
此時(shí)△AOB的面積，，
解S'＞0，得；解S'＜0，得．
所以是函數(shù)的增區(qū)間；是函數(shù)的減區(qū)間．
所以，當(dāng)時(shí)，△AOB的面積最大，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，是一道中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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