Question

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x.

(1)求f(x)的解析式，并畫(huà)出f(x)的圖象；

(2)設(shè)g(x)＝f(x)－k，利用圖象討論：當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)？二個(gè)零點(diǎn)？三個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝，函數(shù)圖象略．

(2)當(dāng)k<－1或k>1時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＝－1或k＝1時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)－1<k<1時(shí)，3個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先設(shè)x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可作出f（x）的圖象

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，結(jié)合函數(shù)的圖象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只要結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷y=f（x）與y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣2x．

設(shè)x＜0可得﹣x＞0，則f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x

∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x

∴函數(shù)的圖象如圖所示

（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k

結(jié)合函數(shù)的圖象可知

①當(dāng)k＜﹣1或k＞1時(shí)，y=k與y=f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）﹣k有1個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)k=﹣1或k=1時(shí)，y=k與y=f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）﹣k有2個(gè)零點(diǎn)

③當(dāng)﹣1＜k＜1時(shí)，y=k與y=f（x）有3個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）﹣k有3個(gè)零點(diǎn)