Question

1．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，己知AA₁=8，點E，F(xiàn)分別的棱BB₁，CC₁上，且滿足AB=BE=3，F(xiàn)C₁=2，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 建立以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系，求出平面AEF與平面ABC的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：建立以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵AA₁=8，AB=BE=3，F(xiàn)C₁=2，
∴A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F(xiàn)（3，3，6），
則平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面AEF的法向量為為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AE}$=（3，0，3），$\overrightarrow{AF}$=（3，3，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{3x+3z=0}\\{3x+3y+6z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{x+y+2z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則z=-1，y=1，
則$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查二面角的求解，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．