Question

設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(x??c)=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于(    )

A.     B.        C. ??1         D. 1

Answer 1

C

解析:

令c=π，則對(duì)任意的x∈R，都有f(x)+f(x??c)=2，于是取，c=π，則對(duì)任意的x∈R，af(x)+bf(x??c)=1，由此得。

一般地，由題設(shè)可得，，其中且，于是af(x)+bf(x??c)=1可化為

，即

，所以

。

由已知條件，上式對(duì)任意x∈R恒成立，故必有，

若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。當(dāng)c=2kπ時(shí)，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=??1。由(1)、(3)知，所以。