Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形.（12分）

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求

（為原點(diǎn)）面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；(2) 面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一正方形,可知，又在橢圓上，可得的值；（2）可得直線直線有斜率，當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸，，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，方程有兩個(gè)不同的解又，

由弦長(zhǎng)公式求出，又原點(diǎn)到直線的距離為，那么，可得時(shí)，取得最大值.

試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成正方形，

∴， ∴， 2分

又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，

∴故所求橢圓方程為 4分

(2)設(shè)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720463268388771/SYS201411172046448718159687_DA/SYS201411172046448718159687_DA.033.png">的垂直平分線通過點(diǎn)， 顯然直線有斜率，

當(dāng)直線的斜率為時(shí),則的垂直平分線為軸，此時(shí)

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720463268388771/SYS201411172046448718159687_DA/SYS201411172046448718159687_DA.042.png">，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為， 6分

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，則設(shè)的方程為

所以，代入得到

當(dāng), 即

方程有兩個(gè)不同的解又，

所以，又，化簡(jiǎn)得到 -----8分

代入，得到

又原點(diǎn)到直線的距離為

所以

考慮到且化簡(jiǎn)得到 10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720463268388771/SYS201411172046448718159687_DA/SYS201411172046448718159687_DA.071.png">，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.

綜上，面積的最大值為 12分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理.