Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D為AB的中點，求證：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

證明：（1）在，∴A₁C=1，
在△A₁BC中，BC=1，A₁C=1，，∴，∴，∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，AA₁∩A₁C=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）連接A₁C交AC₁于O，連接DO，
則由D為AB中點，O為A₁C中點得，OD∥BC₁，
∵OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．
分析：（1）利用等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理、及線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．
點評：熟練掌握等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理、及線面、面面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理是證明問題的關(guān)鍵．