二階矩陣M有特征值λ=6，其對應(yīng)的一個特征向量
e
=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，2）變換成點（8，4）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的另一個特征值及對應(yīng)的一個特征向量．
考點：幾種特殊的矩陣變換
專題：計算題,矩陣和變換
分析：（Ⅰ）先設(shè)M=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=6及對應(yīng)的一個特征向量及矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，2）變換成點（8，4），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-4）（λ-2）-8=λ2-2λ+24，從而求得另一個特征值及對應(yīng)的一個特征向量．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M=
ab
cd
，則由
ab
cd
1
1
=6
1
1
得
a+b
c+d
=
6
6
，
即a+b=c+d=6．                                                …（1分）
由
ab
cd
1
2
=
8
4
，得
a+2b
c+2d
=
8
4
，從而a+2b=8，c+2d=4．       …（2分）
由a+b=6及a+2b=8，解得a=4，b=2；
由c+d=6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，
所以M=
4  2
8 -2
；…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩陣M的特征多項式為f(λ)=
.
λ-4-2
-8λ+2
.
=(λ-4)(λ+2)-16=λ2-2λ-24…（4分）
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為6與-4．                      …（5分）
當(dāng)λ=-4時，
(λ-4)x-2y=0
-8x+(λ+2)y=0
⇒4x+y=0
故矩陣M的屬于另一個特征值-4的一個特征向量為
1
-4
．        …（6分）
點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面幾種推理過程是演繹推理的是（　�。�
A、由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出結(jié)論：一個偶數(shù)（大于4）可以寫成兩個素數(shù)的和．
B、兩條直線平行，兩同旁內(nèi)角互補(bǔ)，因為∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，所以∠A+∠B=180°
C、我國地質(zhì)學(xué)家李四光發(fā)現(xiàn)中國松遼地區(qū)和中亞細(xì)亞的地質(zhì)結(jié)構(gòu)類似，而中亞細(xì)亞有豐富的石油，由此，他推斷松遼平原也蘊(yùn)藏著豐富的石油
D、在數(shù)列{an}中，a1=1，an=
1
2
（an-1+
1
an-1
）（n≥2），由此歸納出{an}的通項公式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

口袋中有n（n∈N*）個白球，3個紅球．依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數(shù)為X．若P（X=2）=
7
30
，則n的值為（　�。�
A、5B、6C、7D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y，分布列為
X 1 2 3
P a 0.1 0.6
Y 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）計算X，Y的均值E（X），E（Y）與方差D（X），D（Y）；并分析甲，乙的技術(shù)狀況．
（參考數(shù)據(jù)：0.3×（-1.3）2+0.1×（-0.3）2）+0.6×（0.7）2=0.81）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=5sin（2x-
π
3
）-3是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點坐標(biāo)為（an，0）．
（Ⅰ）求an的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
1-an+n•2n
n
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x
（1）如果x∈[1，2]，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；
（2）求函數(shù)M（x）=
f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|
2
的最大值．
（3）如果對任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（
x
）＞k•g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

空氣質(zhì)量已成為城市居住環(huán)境的一項重要指標(biāo)，空氣質(zhì)量的好壞由空氣質(zhì)量指數(shù)確定．空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重：
空氣質(zhì)量指數(shù)0～3535～7575～115115～150150～250≥250
空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
經(jīng)過對某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個月（30天）監(jiān)測，獲得數(shù)據(jù)后得到條形圖統(tǒng)計圖如圖所示：
（Ⅰ）估計某市一個月內(nèi)空氣受到污染的概率（規(guī)定：空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于75，空氣受到污染）；
（Ⅱ）在空氣質(zhì)量類別為“良”、“輕度污染”、“中度污染”的監(jiān)測數(shù)據(jù)中用分層抽樣方法抽取一個容量為6的樣本，若在這6數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù)，求這2個數(shù)據(jù)所對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別不都是輕度污染的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞1時，求使f（x）＜0成立的x的取值范圍．

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