Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中點(diǎn)．

（1）求證：平面BED平面SAB；

（2）求直線SA與平面BED所成角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）45°

【解析】本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確得出線面角，屬于中檔題．

（1）證明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，證明DE⊥平面SAB即可；

（2）作AF⊥BE，垂足為F，可得∠AEF是直線SA與平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得結(jié)論．

解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB． …………………………………………3分

∵SD＝AD，E是SA的中點(diǎn)，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法請參照給分)……………………………………6分

（2）法一：作AF⊥BE，垂足為F．

由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，則AF⊥平面BED，

則∠AEF是直線SA與平面BED所成的角．……………………………………………8分

設(shè)AD＝2A，則AB＝A，SA＝2 A，AE＝A，

△ABE是等腰直角三角形，則AF＝A．

在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，

故直線SA與平面BED所成角的大小45°．…………………………………………12分

（2）法二：分別以DA,DC,DS為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系D—xyz，不妨設(shè)AD＝2，則

D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，

C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．

＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．

設(shè)m＝(x₁，y₁，z₁)是面BED的一個(gè)法向量，則

，因此可取m＝(－1，，1)．…………………8分

  ……12分