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在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且acosA=bcosB.
(1)試判斷△ABC的形狀;
(2)若△ABC的面積為
3
,且tanC+
2csinA
a
=0
,求a.
分析:(1)由余弦定理利用條件acosA=bcosB可得a=b或c2=a2+b2,從而得到△ABC為等腰三角形或直角三角形.
(2)由tanC+
2csinA
a
=0
及正弦定理求得cosC=-
1
2
,從而得到C=
3
,進一步確定△ABC必為等腰三角形,根據
△ABC的面積S=
1
2
absinC
 求出結果.
解答:解:(1)由余弦定理得acosA=bcosB可知a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac
,
所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)c2=(a2-b2)(a2+b2),(3分)
所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,所以a=b或c2=a2+b2,
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.(6分)
(2)由tanC+
2csinA
a
=0
及正弦定理可得
sinC
cosC
+2sinC=0

而sinC>0,所以cosC=-
1
2
,所以C=
3
,(8分)
結合(1)可知△ABC必為等腰三角形,且A=B=
π
6

故△ABC的面積S=
1
2
absinC=
1
2
a2
3
2
=
3
,
所以a=2.(12分)
點評:本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用,三角形的內角和公式,判斷三角形的形狀的方法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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1114

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(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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3
acosB

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b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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