Question

3．已知命題p：不等式x²-ax-8＞0對任意實數(shù)x∈[2，4]恒成立；命題q：存在實數(shù)θ滿足$\frac{4}{a-1}≤sinθ-2$；命題r：不等式ax²+2x-1＞0有解．
（1）若p∧q為真命題，求a的取值范圍．
（2）若命題p、q、r恰有兩個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若p∧q為真命題，則命題p，q均為真命題，進而可得a的取值范圍．
（2）根據(jù)命題p、q、r恰有兩個是真命題，可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若命題p為真命題，則$a＜x-\frac{8}{x}$對任意實數(shù)x∈[2，4]恒成立
∴$a＜{（{x-\frac{8}{x}}）_{min}}=-2$，即a＜-2．…（3分）
若命題q為真命題，則$\frac{4}{a-1}≤{（{sinθ-2}）_{max}}=-1$，
∴$\frac{4}{a-1}≤-1?\frac{a+3}{a-1}≤0?-3≤a＜1$
又∵p∧q為真命題，
∴命題p，q均為真命題，
∴-3≤a＜-2…..（6分）
即a的取值范圍為[-3，-2）…（7分）
（2）若不等式ax²+2x-1＞0有解，則
當(dāng)a＞0時，顯然有解；當(dāng)a=0時，ax²+2x-1＞0有解；
當(dāng)a＜0時，∵ax²+2x-1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
∴不等式ax²+2x-1＞0有解等價于a＞-1，…（10分）
∴若命題p、q、r恰有兩個是真命題，
則必有-3≤a＜-2或-1＜a＜1
即a的取值范圍為[-3，-2）∪（-1，1）．…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，不等式恒成立問題，存在性問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．