Question

已知數(shù)列{a_n滿足a₁=，且對(duì)任意n∈N*，都有=．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)已知條件的轉(zhuǎn)化，可以得到，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，繼而可求a_n
（Ⅱ）得到之后，a_k•a_k+1==，再去判斷就容易了．
解答：解：（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴，
所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列．                     …（4分）
可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，所．…（6分）
（Ⅱ）=．                        …（8分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183540428375539/SYS201310241835404283755018_DA/16.png">，…（10分）
k是正整數(shù)時(shí)，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)．
（也可以從k的奇偶性來(lái)分析）
所以a_k•a_k+1是數(shù){a_n}中的項(xiàng)，是項(xiàng)．                 …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對(duì)條件合理轉(zhuǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)化后可求a_n，從而可以判斷a_k•a_k+1是否為數(shù)列a_n中的項(xiàng)．