Question

已知橢圓方程為

y2

2

+x2=1，斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．由此能求出m的取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為F，則S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

，所以△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．由此能求出△MPQ的面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．…（3分）
設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
由題意有k_MN•k=-1，可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．可得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為F，
則S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|=

2m(1-m)3

…（9分）
所以△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
設(shè)f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）(0，

1

4

)．
可知f（m）在區(qū)間(0，

1

4

)單調(diào)遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)(0，

1

4

)時(shí)，f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．
所以，當(dāng)時(shí)，△MPQ的面積有最大值

3 6

16

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．