設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求數(shù)學(xué)公式的值，試判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，它的前n項(xiàng)和是Sn，若a1=3，且對任意的正整數(shù)n，均滿足f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：（1）令x=y=1，得f（1）=0；令，得（3分）
y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．下面證明：
任取0＜x1＜x2，則，∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，∴
在已知式中令，得，即證．（6分）
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1
∴f（Sn）+1=f（an）+f（an+1），即f（2Sn）=f（an（an+1））（8分）
∵y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴2Sn=an（an+1）∴2Sn+1=an+1（an+1+1）
兩式相減得：，
即（an+1+an）（an+1-an-1）=0
∵an＞0，∴an+1-an=1（11分）
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列
∴an=n+2．（12分）
分析：（1）利用賦值法求值，再利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先得出和與通項(xiàng)的關(guān)系，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)．
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查單調(diào)性的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，正確理解題意是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
13
)=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)槿wR，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(
-an
2an+1
)
（n∈N*）
（Ⅰ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；          
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0對一切n∈N*均成立，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽+，若對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)：fk(x)=
k，f(x)≤k
f(x)，f(x)＞k
，則當(dāng)函數(shù)f(x)=
1
x
，k=1時(shí)，函數(shù)fk（x）的圖象與直線x=
1
4
，x=2，y=0圍成的圖形的面積為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•閔行區(qū)一模）（文）設(shè)函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)是y=f-1（x），且函數(shù)y=f（x）過點(diǎn)P（2，-1），則f-1（-1）=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•南匯區(qū)二模）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求證：y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）在區(qū)間[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

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