Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點$P（{-1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$在橢圓C上，|PF₂|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，過點F₁的直線l與橢圓C分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的標準方程和離心率；
（2）若△OMN的面積為$\frac{12}{11}$，O為坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由兩點之間的距離公式|PF₂|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，即可求得c的值，即可求得丨PF₁丨=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)橢圓的定義，即可求得a的值，求得b的值，求得橢圓方程；
（2）由當直線MN與x軸垂直時，顯然不成立，設直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式即可求k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由|PF₂|=$\sqrt{（-1-c）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得：c=1，則F₁（-1，0），PF₁⊥F₁F₂，
則丨PF₁丨=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=2，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當直線MN與x軸垂直時，丨MN丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則△OMN的面積S_△OMN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，不符合題意，舍去；
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設直線l：y=k（x+1），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
則x₁+x₁=$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$，
原點O到直線MN的距離d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則三角形的面積S_△OMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2+3{k}^{2}}$×$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12}{11}$，解得：k²=3，則k=±$\sqrt{3}$，
∴直線MN的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1）或y=-$\sqrt{3}$（x+1）．

點評 本題考查橢圓的定義及方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．