Question

長為l（l＜1）的線段AB的兩個端點在拋物線y²=x上滑動，則線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設(shè)線段AB的兩個端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將兩點分別代入拋物線解析式得到y(tǒng)₁²=x₁，y₂²=x₂，由A和B的位置得到y(tǒng)₁y₂＜0，聯(lián)立兩等式表示出y₁y₂，再由拋物線開口向右，得到線段AB中點M到y(tǒng)軸距離，即為M的橫坐標(biāo)，利用線段中點坐標(biāo)公式表示出M的橫坐標(biāo)，利用基本不等式求出橫坐標(biāo)的最小值，以及此時x₁=x₂，再由線段AB的長為l，由兩點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，將x₁=x₂代入，利用完全平方公式展開后，將y₁²=x₁，y₂²=x₂及表示出的y₁y₂代入，表示出x₁+x₂，代入M的橫坐標(biāo)中，即可表示出線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值．
解答：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將A和B分別代入拋物線y²=x得：y₁²=x₁，y₂²=x₂，
又y₁y₂＜0，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²，即y₁y₂=-，
∵拋物線y²=x開口向右，
∴線段AB中點M到y(tǒng)軸的距離為，
由x₁+x₂≥2，得到當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時，取得最小值，
∴此時x₁+x₂=2，又線段AB的長為l，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（y₁-y₂）²=l²，
即y₁²+y₂²-2y₁y₂=x₁+x₂+2=2（x₁+x₂）=l²，
∴x₁+x₂=l²，
則線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值為=．
故選D
點評：此題考查了兩點間的距離公式，拋物線的圖象與性質(zhì)，線段中點坐標(biāo)公式，以及基本不等式的運用，利用了整體代入的思想，其技巧性較強，要求學(xué)生掌握知識要全面．