Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1+

a

x

（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，且函數(shù)g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零點，求b的最大值；
（2）若f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）在x=1處有極值，則f′（1=0，求得a的值，又g（x）在（0，+∞）上有零點，由g′（x）可知g（x）的單調(diào)性，滿足g（x）的最小值小于或等于為0，求出b的最大值；
（2）由f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≥0或f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-1-

a

x2

，
∵函數(shù)f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=1-a=0，得a=1，
∴g（x）=ex-1+

1

x

+b，g′（x）=ex-1-

1

x2

，∵g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（1）=0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值為g（1）=2+b，∵函數(shù)g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零點，∴2+b≤0，b≤-2
∴b的最大值為-2；
（2）：∵f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)
∴①當f（x）為單調(diào)增函數(shù)時，則f′（x）=e^x-1-

a

x2

≥0，在（1，2）上恒成立，
a≤x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴a≤h（x）_min=h（1）=1，∴a≤1；
②當f（x）為單調(diào)減函數(shù)時，則f′（x）=e^x-1-

a

x2

≤0，在（1，2）上恒成立，
a≥x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴a≥h（x）_max=h（2）=4e，∴a≥4e；
綜上得a的取值范圍為（-∞，1]∪[4，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，極值，零點，最值，單調(diào)性等知識，運用了等價轉(zhuǎn)換，分類討論等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．