Question

已知圓直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的半焦距，，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若求橢圓的方程；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn)，求線段MN的長度的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）橢圓的方程為；(Ⅲ).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑.設(shè)圓的圓心為半徑分別為，直線的方程為.若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，將已知條件代入這個(gè)公式，即可得的值.

(Ⅱ)將代入得：得關(guān)于的二次方程.設(shè)則是這個(gè)方程的兩個(gè)根.因?yàn)�，所�?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204132056362364/SYS201404120415147198222208_DA.files/image015.png">，再結(jié)合韋達(dá)定理，可得一個(gè)含的等式，與聯(lián)立解方程組即可求得的值.

(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，動(dòng)點(diǎn)，則將其代入橢圓方程，便得：①.設(shè)，，則.兩式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.

思路二、選定一個(gè)量作為變量，其余的量都用這個(gè)量來表示，最終用這個(gè)量表示出線段MN的長度.

那么選哪 一個(gè)量作為變量呢？顯然直線AS的斜率存在，設(shè)為且，然后用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出線段MN的長度. 再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.

試題解析：（Ⅰ）直線與圓相切,所以   4分

(Ⅱ) 將代入得：

得:         ①

設(shè)則

    ②

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204132056362364/SYS201404120415147198222208_DA.files/image033.png">

由已知代人②

所以橢圓的方程為                               8分

(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，便得：                      ①

設(shè)，，則.兩式相乘得      ②

由①得：，代入②得：，顯然異號.

所以線段MN的長度，當(dāng)時(shí)取等號.

法二、顯然直線AS的斜率存在，設(shè)為且則

依題意，由得：

設(shè)則即

，又B（2，0）所以  BS：

由 

所以時(shí)：                                 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、函數(shù)的最值.