Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下面關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)；  
②f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；
④f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
其中正確判斷的序號(hào)為

①④

（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）．

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判斷①；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，可判斷②；
再根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，推出y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，可判斷③④．

解答：解：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），即可得周期T=2，故①正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，故②錯(cuò)；
由于f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（2）=f（0），故③錯(cuò)，④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．