Question

如圖正方體中，M、N分別是棱AB、CC₁的中點(diǎn)，△M

B

1

P的頂點(diǎn)P在棱CC₁上運(yùn)動(dòng)，有以下四個(gè)命題：
①△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值
②△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形一定是三角形
③直線ND₁一定垂直平面MB₁P
④平面MB₁P一定垂直平面ND₁A₁
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,平行投影及平行投影作圖法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①由正方體的性質(zhì)可知：B₁P在底面ABCD的射影為BC，B₁M在底面ABCD的射影為BM，可得△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形為△BMC；
②當(dāng)點(diǎn)P取C₁時(shí)，△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形是一條線段，而不是三角形；
③直線ND₁與B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P；
④由已知可得A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，可得B₁M⊥平面A₁D₁N，即可判斷出．

解答： 解：①由正方體的性質(zhì)可知：B₁P在底面ABCD的射影為BC，B₁M在底面ABCD的射影為BM．
△MB₁P在底面ABCD上的射影圖形為△BMC，其面積為定值，正確；
②當(dāng)點(diǎn)P取C₁時(shí)，△MB₁P在側(cè)面D₁C₁CD上的射影圖形是一條線段，而不是三角形．
③直線ND₁與B₁P不一定垂直，因此ND₁不一定垂直平面MB₁P，不正確．
④∵A₁D₁⊥B₁M，B₁M⊥D₁N，∴B₁M⊥平面A₁D₁N．
因此平面MB₁P一定垂直平面NA₁D₁．正確．
綜上可知：①④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間線面、面面垂直的判定與性質(zhì)、正方體的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．