Question

【題目】已知橢圓C：（），其中離心率，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的左右焦點(diǎn)，若面積的最大值為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線 交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，若，試問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說明理由．

Answer 1

【答案】(1)； (2)直線恒過定點(diǎn)

【解析】

（1）直接由離心率及面積的最大值和之間的關(guān)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)直線，聯(lián)立與橢圓的方程，得出兩根之和兩根之積，由直線垂直得數(shù)量積為零求出過的定點(diǎn)．

(1)由題意得：e，，，

解得：，所以橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程：；

(2)由(1)得，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程：，

設(shè)，

聯(lián)立方程與橢圓的方程整理得：，

，即，

所以， ，

所以， ，

因?yàn)?/span>，∴，

∴ ，∴，，

∴，解得：，

當(dāng)時(shí)，直線過B點(diǎn)不符合條件，舍去，

當(dāng)時(shí)，符合，

所以直線恒過定點(diǎn)．