Question

如圖半徑為2的圓內(nèi)接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)式，并求出它的定義域；
（2）求出周長y的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

解：（1）如圖所示，過點C作CE⊥AB，垂足為E，
設(shè)OE=a，則EB=2-a，∴OC²-OE²=BC²-BE²，即2²-a²=x²-（2-a）²，∴a=；
∴y=AB+2BC+CD=4+2x+2a=4+2x+=-+2x+8；由0＜a＜2，得0＜＜2，∴0＜x＜2；
所以，周長；
（2）周長函數(shù)y=-+2x+8=-（x-2）²+10，其中x∈（0，2），所以，當(dāng)x=2時，y有最大值，為10．
分析：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，設(shè)OE=a，則EB=2-a，由勾股定理得OC²-OE²=BC²-BE²，代入整理可得a；
周長y=AB+2BC+CD=4+2x+2a；由0＜a＜2，可得x的取值范圍；
（2）函數(shù)y=-+2x+8是二次函數(shù)，定義域為x∈（0，），用配方法可以求得y的最大值及對應(yīng)x的值．
點評：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時，通常用配方法解答；本題是基礎(chǔ)題．