Question

2．在平面直角坐標系xOy中，橢圓Ω：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線y²=-8x的焦點是橢圓Ω的一個頂點．
（1）求橢圓Ω的標準方程；
（2）直線l：y=kx+m（m≠0）與橢圓Ω相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且3x₁x₂+4y₁y₂=0，證明：△AOB的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求出拋物線焦點坐標，得到橢圓的長半軸長，結合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系求出A、B的橫坐標的和與積，結合已知可得m與k的關系，求出弦長，再由點到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，代入三角形面積公式即可證得△AOB的面積為定值．

解答 （1）解：拋物線y²=-8x的焦點為（-2，0），故a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，故c=1，$b=\sqrt{3}$．
∴橢圓Ω的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0．
∵△=（8mk）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，
∴3+4k²-m²＞0，∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8mk}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．
由3x₁x₂+4y₁y₂=0，得$3•\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}+4•\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=0$，
∴2m²=3+4k²．
∵$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（3+4{k^2}-{m^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{48（2{m^2}-{m^2}）}}{{{{（2{m^2}）}^2}}}}=\sqrt{（1+{k^2}）}•\sqrt{\frac{12}{m^2}}$，
又點O到直AB線的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{m^2}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}•\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{12}{m^2}}•\frac{{\sqrt{m^2}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查弦長公式的應用，是中檔題．