Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a值；
（2）如圖，設(shè)直線x=-1，y=-2x，將坐標(biāo)平面分成I、II、III、IV四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)，試判斷其所在的區(qū)域，并求其對(duì)應(yīng)的a的取值范圍
（3）試比較2012²⁰¹¹與2011²⁰¹²的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴+，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意，
故a=1．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，
又直線y=-2x恰好過(guò)原點(diǎn)，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，
于是f（x）＜-2x，
即，
∵x+1＞0，∴a，
令m（x）=，∴，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增，
x∈（e-1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減．
∴，
∴a的取值范圍是：a＞．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=在x∈（e-1，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)p（x）=在x∈（e，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減，
∴，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴l(xiāng)n（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=2011，則2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
分析：（1）由，得+，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，又直線y=-2x恰好過(guò)原點(diǎn)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=在x∈（e-1，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，故函數(shù)p（x）=在x∈（e，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減，故，由此能證明2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．