Question

設曲線C₁：（a為正常數(shù)）與C₂：y²=2（x+m） 在x軸上方僅有一個公共點P．
（1）求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點，若C₁與x軸的負半軸交于點A，當0＜a＜時，試求△OAP的面積的最大值（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立方程，組成方程組，問題轉化為方程x²+2a²x+2a²m-a²=0在x∈（-a，a）上有唯一解或等根，再討論三種情況，可得實數(shù)m的取值范圍；
（2）分類討論，表示出△OAP的面積，比較兩個面積的大小關系，即可求得結論．
解答：解：（1）由消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0．              ①
設f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，問題（1）轉化為方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只須討論以下三種情況：
1°△=0得m=，此時x_p=-a²，當且僅當-a＜-a²＜a，即0＜a＜1時適合；
2°f（a）•f（-a）＜0當且僅當-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此時 x_p=a-2a²，當且僅當-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1時適合．
f（a）=0得m=-a，此時 x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，從而m≠-a．
綜上可知，當0＜a＜1時，m=或-a＜m≤a；當a≥1時，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面積S=ay_p．
∵0＜a＜，∴-a＜m≤a時，，由唯一性得x_p=．
顯然當m=a時，x_p取值最�。�
由于x_p＞0，從而取值最大，此時y_p=2，∴S=a．
當m=時，x_p=-a²，y_p=，此時S=a．
下面比較a與a的大小：
令a=a，得a=．
故當0＜a≤時，，此時S_max=．
當＜a＜時，，此時S_max=a．…（20分）
點評：本題考查曲線的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．