Question

某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元．該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元．
（1）當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰為51元？（3分）
（2）設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)P=f（x）的表達(dá)式；
（3）如果訂購(gòu)量為x個(gè)，該廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)，寫出函數(shù)L=g（x）的表達(dá)式；當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)零件量x∈[50，500]時(shí)，要使該廠獲得的利潤(rùn)最大，只有銷售商一次訂購(gòu)多少零件．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)出廠單價(jià)定為60元，實(shí)際出廠單價(jià)恰為51元，當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，即可求出一次訂購(gòu)量；
（2）根據(jù)題意，零件的實(shí)際出廠單價(jià)是個(gè)分段函數(shù)，結(jié)合（1）可分段寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)，從而得出函數(shù)P=f（x）的表達(dá)式；
（3）利潤(rùn)為實(shí)際出廠單價(jià)與零件的成本的差乘以一次訂購(gòu)零件量，再利用利潤(rùn)函數(shù)g（x）在[50，500]范圍內(nèi)是增函數(shù)，即可求得該廠獲得的利潤(rùn)最大時(shí)，銷售商一次訂購(gòu)的零件數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購(gòu)量為x₀個(gè)，則x₀=100+

60-51

0.02

=550（2分）
因此，當(dāng)一次訂購(gòu)量為550個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰為51元　　　　　�。�3分）
（2）當(dāng)0＜x≤100時(shí)，P=60；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）
當(dāng)100＜x＜550時(shí)，P=60-0.02（x-100）=62-

x

50

（6分）
當(dāng)x≥550時(shí)，P=51，（7分）．
所以，P=f(x)=

60，0＜x≤100 62- x 50 ，100＜x＜550，(x∈N) 51，x≥550.

（9分）
（3）設(shè)銷售商一次訂購(gòu)零件量為x個(gè)時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則
L=g（x）=（P-40）x=

20x，0＜x≤100 22x- x2 50 ，100＜x＜550，(x∈N) 11x，x≥550.

（11分）
∴函數(shù)g（x）在[50，550]范圍內(nèi)是增函數(shù)　　　　　　　（13分）
∴當(dāng)x=550時(shí)，g（x）取得最大值．
所以，要使該廠獲得的利潤(rùn)最大，只有銷售商一次訂購(gòu)550個(gè)零件．　　（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用函數(shù)的模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力．要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再代數(shù)求值．解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實(shí)際意義求解．注意分段函數(shù)的要根據(jù)自變量的范圍分段求得解析式