口袋里裝有大小相同的4個(gè)紅球和8個(gè)白球,甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),規(guī)則如下:①若一方摸出一個(gè)紅球,則此人繼續(xù)進(jìn)行下一次摸球;若一方摸出一個(gè)白球,則改換為由對方進(jìn)行下一次摸球;②每一個(gè)摸球彼此相互獨(dú)立,并約定由甲開始進(jìn)行第一次摸球,求在前三次的摸球中:
(1)乙恰好摸到一個(gè)紅球的概率;
(2)甲至少摸到一個(gè)紅球的概率;
(3)甲摸到紅球的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解:記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A“乙摸球一次摸出紅球”為事件B,
,且A,B相互獨(dú)立.
(1)乙恰好摸到一個(gè)紅球包括兩種情況,甲第一次摸到一個(gè)紅球,第二次沒有摸到紅球改為乙摸球,且摸到一個(gè)紅球;
二是甲第一次摸球,摸到一個(gè)白球,乙開始摸球摸到一個(gè)紅球,乙接著摸球,摸到一個(gè)白球.
∴乙恰好摸到一個(gè)紅球的概率為
(2)甲至少摸到一個(gè)紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球
∵甲在前三次摸球中,沒有摸到紅球的概率為,
根據(jù)對立事件的概率公式得到
甲至少摸到一個(gè)紅球的概率為
(3)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ,根據(jù)題意知ξ的可能取值為0,1,2,3,
結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的分布列,
,

,

∴ξ的分布列為
∴數(shù)學(xué)期望
分析:(1)乙恰好摸到一個(gè)紅球包括兩種情況,甲第一次摸到一個(gè)紅球,第二次沒有摸到紅球改為乙摸球,且摸到一個(gè)紅球;二是甲第一次摸球,摸到一個(gè)白球,乙開始摸球摸到一個(gè)紅球,乙接著摸球,摸到一個(gè)白球.根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫出結(jié)果.
(2)甲至少摸到一個(gè)紅球的對立事件是甲在前三次摸球中沒有摸到紅球,算出甲在前三次摸球中,沒有摸到紅球的概率,根據(jù)對立事件的概率公式得到甲至少摸到一個(gè)紅球的概率.
(3)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ,根據(jù)題意知ξ的可能取值為0,1,2,3,結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的分布列,算出期望.
點(diǎn)評:本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,是一個(gè)綜合題,解題時(shí)注意離散型隨機(jī)變量對應(yīng)的事件.
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(1)乙恰好摸到一個(gè)紅球的概率;
(2)甲至少摸到一個(gè)紅球的概率;
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(2)寫出在前三次摸球中,甲摸得紅球的次數(shù)的分布列,并求數(shù)學(xué)期望.

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