Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：依題意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x²+2ax+b，
故解得
從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或．
由于f（x）在x=1處取得極值，故，即c≠-3．
若，即c＜-3，
則當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
若，即c＜-3，
同上可得，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為
分析：根據(jù)題意，先求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處取得極值-2，的f′（1）=0，f（1）=-2，可得用c表示a和b；令導(dǎo)數(shù)f′（x）=0，比較根的大小，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，體現(xiàn)方程的思想，特別討論函數(shù)的單調(diào)性，比較兩根的大小，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法，屬難題．