Question

13．已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)P（3，6）且被圓C截得弦長(zhǎng)為4的直線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法，求出圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，分類討論進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圓C經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)O（0，0）A（1，3）B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=-2，F(xiàn)=0，
即圓C的方程x²+y²-4x-2y=0．
（Ⅱ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=5，圓心C坐標(biāo)為（2，1），半徑R=$\sqrt{5}$，
∵直線l過(guò)點(diǎn)P（3，6），且被圓C截得弦長(zhǎng)為4，
∴弦心距=$\sqrt{5-4}$=1，
①過(guò)點(diǎn)P（3，6）且被圓C截得弦長(zhǎng)為4的直線的斜率不存在，此時(shí)x=3，滿足題意．
②當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（3，6）且被圓C截得弦長(zhǎng)為4的直線的斜率存在時(shí)設(shè)為k，
直線方程為y-6=k（x-3）．即kx-y+6-3k=0，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{12}{5}$，所求直線方程為：12x-5y-6=0．
故所求直線方程為：x=3或12x-5y-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般式方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法以及圓心到直線的距離d與半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查計(jì)算能力．