Question

已知函數(shù)f(x)=Asin²(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜),且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)(1,2).

(1)求φ；

(2)計(jì)算f(1)+f(2)+…+f(2 008).

Answer 1

思路分析:本題主要考查二倍角公式、函數(shù)y=Acos(ωx+φ)+B(A＞0,ω＞0)圖象的性質(zhì).首先利用二倍角公式將函數(shù)的解析式化為y=Acos(ωx+φ)+B(A＞0,ω＞?0)的形式，再利用它的圖象的性質(zhì)求出解析式即可；對于（2）則利用函數(shù)y=ACos(ωx?+φ)+B(A＞0,ω＞0)的周期性求解.

（1）解：y=Asin²(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).

∵y=f(x)的最大值為2，A＞0,∴=2,A=2.

又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，∴,ω=.

∴.

∵y=f(x)過(1,2)點(diǎn)，∴cos(+2φ)=-1.∴+2φ=2kπ+π,k∈Z.

∴2φ=2kπ+,k∈Z.∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0＜φ＜,∴φ=.

（2）解法一：∵φ=,∴y=1-cos(x+)=1+sinπx.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

又∵y=f(x)的周期為4，2 008=4×502，

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

解法二：∵f(x)=2sin²(x+φ),

∴f(1)+f(3)=2sin²(+φ)+2sin²(+φ)=2,

f(2)+f(4)=2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.又y=f(x)的周期為4,2 008=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

方法歸納 在函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b中，相鄰兩個(gè)對稱軸之間的距離為周期的一半，而A值可以通過最值體現(xiàn)出來.