Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦 點(diǎn)。（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的 距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓C的方程為=1，焦點(diǎn)F₁（－1，0），F(xiàn)₂（1，0）;（2）

【解析】

試題分析：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，

由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a="2." （2分）

又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²="1." （4分）

所以橢圓C的方程為=1，焦點(diǎn)F₁（－1，0），F(xiàn)₂（1，0） （6分）

（2）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K（x₁， y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y. （10分）

代入=1得=1.

即為所求的軌跡方程. （14分）

考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程的求法及軌跡方程的求法

點(diǎn)評：處理軌跡問題時往往用到以下要注意用到這個方法：（1）結(jié)合解析幾何中某種曲線的定義，從定義出發(fā)尋找解決問題的方法；（2）利用幾何性質(zhì)，若所求的軌跡與圖形的性質(zhì)相關(guān)，往往利用三角形或圓的性質(zhì)來解問題；（3）如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在曲線已知，又點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的坐標(biāo)可以建立某種關(guān)系，則借助點(diǎn)P的軌跡可以得到點(diǎn)Q的軌跡；（4）參數(shù)法