已知函數(shù)f(x)=lnx,(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x),y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)圖象的切點的橫坐標為1
(Ⅰ)求直線l的方程及a的值;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g'(x),求y=h(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅲ)當時,討論關于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù).
【答案】分析:(Ⅰ)先根據l與y=f(x)圖象的切點的橫坐標為1,求出切點坐標,再根據函數(shù)在切點處的切線斜率是該點處的導數(shù),求出切線斜率,利用點斜式寫出切線方程.根據直線l與y=g(x)的圖象也相切,聯(lián)立方程,方程組有一解,就可求出a的值.
(Ⅱ)化簡h(x)=f(x+1)-g'(x),求導,令導數(shù)大于0,解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間,令導數(shù)小于0,解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間.
(Ⅲ)把方程f(x2+1)-g(x)=k左邊看做一個函數(shù),右邊看做一個常函數(shù),要求方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù),只需看兩個函數(shù)圖象有幾個交點即可.利用導數(shù)求出左邊函數(shù)的極大值與極小值,再按k討論兩個函數(shù)的圖象交點即可.
解答:解(I),
∴k1=1,切點為(1,f(1))=(1,0)
∴l(xiāng)的方程為y=x-1
∵l與g(x)相切,
∴由
又△=0,∴…(4分)
(Ⅱ)

令h'(x)>0,∴,∴-1<x<0
∴增區(qū)間為(-1,0]
(Ⅲ)令,y2=k

∴y1極大=ln2(當x=±1時取得)∴(當x=0時取得) 
∴k∈(ln2,+∞)時,無解;k=ln2時,有兩解;時,有三解;時,有四解
點評:本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的切線的斜率,函數(shù)的極值的應用.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
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(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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