Question

若x₁、x₂是關(guān)于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個(gè)交點(diǎn)間的距離為：

AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝．

參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：

設(shè)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(x₁，0)、B(x₂，0)，拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．

(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b²－4ac的值；

(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b²－4ac的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 4；(2) 12

【解析】

解：(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，△＝b²－4ac＞0，則|b²－4ac|＝b²－4ac．

∵a＞0，∴AB＝，

又∵CE＝||＝，

∴，

∴，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝4；

(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，

由(1)可知CE＝，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝12．