Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設，數(shù)列{c_n}的前n項和為{s_n}，若對任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，求實數(shù)λ取值范圍；
（3）設，數(shù)列{x_n}的前n項和為T_n，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N^*，且n≥2，都有T_3n-T_n＞成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_2n，知，由a₁=1，知，由此能導出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由，知，S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，若對于任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，由此能求出λ的取值范圍．
（3）由，知，令，則，所以f（n）是增函數(shù)，由此能導出整數(shù)m的最大值為18．
解答：解：（1）b_n=a_2n，
，
a₁=1，
∴，
∴{b_n}是首項和公比都為的等比數(shù)列，
故（5分）
（2），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，
若對于任意n∈N^*，
不等式λ≥1+S_n恒成立，
則λ≥2，
故λ的取值范圍是[2，+∞）．（9分）
（3），
T_3n-T_n=，
令f（n）=，
則
，
f（n+1）＞f（n），
∴f（n）是增函數(shù)
當n≥2時，
，，
故m＜19，
整數(shù)m的最大值為18．
點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．