Question

已知直線l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），直線l₂過點(diǎn)A（-3，2），B（-1，3）．
（1）若l₁⊥l₂，求直線l₁的方程；
（2）若直線l₁和線段AB有交點(diǎn)，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，計(jì)算出直線l₂的斜率，再根據(jù)l₁⊥l₂，垂直直線的斜率之積等于-1，得到直線l₁的斜率，從而求出λ的值，得到直線l₁的方程；
（2）化簡直線l₁的方程為：λ（x+2）+（x+y+1）=0，得到直線l₁恒過定點(diǎn)P（-2，1），再分別求出PA、PB的斜率，根據(jù)直線l₁和線段AB有交點(diǎn)，通過觀察直線l₁的傾斜角的變化，得到直線l₁的斜率的取值范圍，最終得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）直線l₂的斜率為k=

3-2

-1-(-3)

=

1

2

，
∵l₁⊥l_2，
所以直線l₁的斜率為k₁=-2⇒-（1+λ）=-2⇒λ=1
故直線l₁的方程是：2x+y+3=0；
（2）由題意得，直線l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），即λ（x+2）+（x+y+1）=0，
因此直線l₁恒過定點(diǎn)P（-2，1），
∵PA的斜率為KPA=

1-2

-2-(-3)

=-1，
PB的斜率為KPB=

1-3

-2-(-1)

=2，
且直線l₁和線段AB有交點(diǎn)，
∴直線l₁的斜率在小于或等于-1，或大于或等于

1

2

的范圍內(nèi)
即-（1+λ）≤-1或-（1+λ）≥2
解之得λ≥0或λ≤-3．

點(diǎn)評：本題借助于兩條直線的位置關(guān)系和動直線與線段有交點(diǎn)的討論，著重考查了直線的基本量和基本形式，以及直線的相互關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．