Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若當時，不等式f （x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）求出函數的導數f′（x），然后令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求解；
（Ⅱ）由題意當時，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實數m的取值范圍；
（Ⅲ）已知方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，整理移項得方程g（x）=x-a+1-2ln（1+x）=0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，利用函數的增減性得根，于是有，從而求出實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（-1，+∞）．（1分）
∵，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在上遞減，在[0，e-1]上遞增．
高三數學（理科）答案第3頁（共6頁）
又，f（e-1）=e²-2，且．
∴當時，f（x）的最大值為e²-2．
故當m＞e²-2時，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x²+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
記g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
為使方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，
只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實數根，于是有
∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴實數a的取值范圍是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）
點評：此題主要考查對數函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化思想、有限與無限的思想來解決問題．