Question

已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)A，B分別是橢圓的長軸的左、右端點(diǎn)，
左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），且過點(diǎn)P ( 

3

2

，  

5

2

3

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知F是橢圓C的右焦點(diǎn)，以AF為直徑的圓記為圓M，試問：過P點(diǎn)能否引圓M的切線，若能，求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對(duì)的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知a²=b²+16，即橢圓的方程為

x2

b2+16

+

y2

b2

=1，由點(diǎn)( 

3

2

，  

5

2

3

)在橢圓上，知

9

4(b2+16)

+

75

4b2

=1，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由A（-6，0），F(xiàn)（4，0），P ( 

3

2

，  

5

2

3

)，知

AP

= ( 

15

2

，  

5

2

3

)，

FP

= ( -

5

2

，  

5

2

3

)，所以

AP

•

.

FP

=0，以AF為直徑的圓M必過點(diǎn)P，因此，過P點(diǎn)能引出該圓M的切線，設(shè)切線為PQ，交x軸于Q點(diǎn)，又AF的中點(diǎn)為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，由此能求出所求的圖形面積．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），∴a²=b²+16，
即橢圓的方程為

x2

b2+16

+

y2

b2

=1，∵點(diǎn)( 

3

2

，  

5

2

3

)在橢圓上，∴

9

4(b2+16)

+

75

4b2

=1，
解得b²=20或b²=-15（舍），由此得a²=36，
所以，所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

36

+

y2

20

=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），又P ( 

3

2

，  

5

2

3

)，則得

AP

= ( 

15

2

，  

5

2

3

)，

FP

= ( -

5

2

，  

5

2

3

)
所以

AP

•

.

FP

=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF為直徑的圓M必過點(diǎn)P，因此，過P點(diǎn)能引出該圓M的切線，設(shè)切線為PQ，交x軸于Q點(diǎn)，又AF的中點(diǎn)為M（-1，0），則顯然PQ⊥PM，
而kPM=

5 2 3 -0

3 2 -(-1)

=

3

，所以PQ的斜率為-

3

3

，
因此，過P點(diǎn)引圓M的切線方程為：y-

5 3

2

=-

3

3

(x-

3

2

)，即x+

3

 y-9=0
令y=0，則x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以^ ，S扇形MPF=

1

2

×5×5×

π

3

=

25π

6

因此，所求的圖形面積是S=S_△PQM-S_扇形MPF=

25 3

2

-

25π

6

=

75 3 -25π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．