Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R，g（x）=x²+（a+2）x+1，若a＞0，且對(duì)任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意得出f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域?yàn)锽，即B⊆A，分類(lèi)討論當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，利用最小值的關(guān)系，求解即可得出范圍．

解答： 解：∵對(duì)任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
∴f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域?yàn)锽，
∴B⊆A
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），單調(diào)遞增，
∴f（x）的值域?yàn)锳=R，
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]的值域?yàn)锽是一個(gè)閉區(qū)間，
∴B⊆A，
∴對(duì)任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
可判斷（0，

a 2

）單調(diào)遞減，（

a 2

，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（

a 2

）=

a

2

-aln

a 2

，
∴值域A=[

a

2

-aln

a 2

，+∞），
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，
x=-1-

a

2

＜-1，
∴g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（-1）=-a，
要滿足B⊆A，只需-a≥

a

2

-aln

a 2

，即a≥2e³，
由①②得a的取值范圍為：a≤0或a≥2e³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩個(gè)函數(shù)值域的問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再求解值域，本題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，從而得出不等關(guān)系．