Question

（本小題滿分12分）

如圖，過拋物線y²＝2px (p＞0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)D在l上。

（1）求證：“如果A、O、D三點(diǎn)共線，則直線DB與

x軸平行”；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是

假命題，并說明理由.

Answer 1

（1）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，y₀），則直線OA的方程為

 （y₀≠0）   ①   拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－             ②

聯(lián)立①②，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y＝－             ③             （3分）

因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)是（，0），所以直線AF的方程為y＝(x－)    ④

其中y≠p².聯(lián)立y²＝2px與④，可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y＝－             ⑤

由③⑤可知，DB∥x軸.                                           

當(dāng)y＝p²時，結(jié)論顯然成立.所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸.

（6分）

（2）逆命題：如果DB與x軸平行，則A、O、D三點(diǎn)共線它是真命題，證明如下

（8分）

因?yàn)閽佄锞�y²＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x＝my＋.代入拋物線方程，得y²－2pmy－p²＝0.

若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是該方程的兩個根，所以y₁y₂＝－p².

（10分）

因?yàn)镈B∥x軸，且點(diǎn)D在準(zhǔn)線x＝－上，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－，y₂），故直線DO的斜率為k＝，

即k也是直線OA的斜率，所以直線AD經(jīng)過原點(diǎn)O，即A、O、D三點(diǎn)共線.

（12分）