Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，求g(x)=

f(x)

x

在[

π

6

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，從而得到f'（x）≥0對x∈（-∞，+∞）恒成立，令t=cosx，將此恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，g(x)=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′(x)=

a(xcosx-sinx)

x2

，記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），先研究h（x）的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解f（x）在R上的最值問題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最值即得．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）=1+acosx≥0對x∈（-∞，+∞）恒成立．（2分）
令t=cosx，則1+at≥0對t∈[-1，1]恒成立，
∴

1+a•(-1)≥0 1+a•1≥0

，解得-1≤a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．（6分）
（Ⅱ）當a＞0時，g(x)=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′(x)=

a(xcosx-sinx)

x2

，（8分）
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），則h'（x）=-xsinx＜0對x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，∴h（x）＜h（0）=0，即g'（x）＜0，
∴當a＞0時，g(x)=

f(x)

x

在（0，π）上是減函數(shù)，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為減函數(shù)．（11分）
∴當x=

π

6

時，g（x）取得最大值1+

3a

π

；當x=

5π

6

時，g（x）取得最小值1+

3a

5π

．（13分）

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．