Question

13．若點(diǎn)Q（2a+b，a-2b）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1≥0}\\{4x+y-5≤0}\\{x-2y+1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)，則z=a²+b²的最大值為$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)與不等式組的關(guān)系代入建立關(guān)于a，b的不等式組，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵Q（2a+b，a-2b）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1≥0}\\{4x+y-5≤0}\\{x-2y+1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b+a-2b+1≥0≥}\\{4（2a+b）+a-2b-5≤0}\\{2a+b-2（a-2b）+1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a-b+1≥0}\\{9a+2b-5≤0}\\{5b+1≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=a²+b²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知A到原點(diǎn)的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3a-b+1=0}\\{9a+2b-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{5}$），
則z的最大值為z=（$\frac{1}{5}$）²+（$\frac{8}{5}$）²=$\frac{13}{5}$
故答案為：$\frac{13}{5}$

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．