Question

 

已知函數(shù)

(I)討論函數(shù)的極值情況；

(Ⅱ)設(shè)試比較

三者的大小；并說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（1）當(dāng)x > 0時(shí)，f （x） = e^x– 1在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f （x） > 0；

當(dāng)x≤0時(shí)，．

①若m = 0，f ′（x） = x²≥0, f （x） =在（–∞，0）上單調(diào)遞增，且．

又f （0） = 0，∴f （x）在R上是增函數(shù)，無極植；

②若m < 0，f ′（x） = x（x + 2m） >0，則f （x） =在（–∞，0）單調(diào)遞增，同①可知f （x）在R上也是增函數(shù)，無極值；  4分

③若m > 0，f （x）在（–∞，–2m）上單調(diào)遞增，在（–2m，0）單調(diào)遞減，

又f （x）在（0, +∞）上遞增，故f （x）有極小值f （0） = 0，f （x）有極大值．  6分

   （2）當(dāng)x > 0時(shí)，先比較e^x – 1與ln（x + 1）的大小，

設(shè)h（x） = e^x – 1–ln（x + 1） （x >0）

h′（x） =恒成立

∴h（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，h（x） > h （0） = 0

∴e^x – 1–ln（x + 1） > 0即e^x – 1 > ln（x + 1）

也就是f （x） > g （x） ，對(duì)任意x > 0成立．

故當(dāng)x₁ – x₂ > 0時(shí)，f （x₁ – x₂） > g （x₁ – x₂）   10分

再比較與g（x₁）–g （x₂）= ln（x₁ + 1）–ln（x₂ + 1）的大�。�

=

=

∴g （x₁ – x₂） > g （x₁） –g （x₂）

∴f （x₁ – x₂）> g （x₁ – x₂） > g （x₁） –g （x₂） ．                 12分