Question

已知圓x²+y²+2x-6y+m=0與x+2y-5=0交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若=0，則實(shí)數(shù)m 的值為________．

Answer 1

0
分析：根據(jù)圓的一般方程，得到圓x²+y²+2x-6y+m=0與x+2y-5=0的圓心C（-1，3），坐標(biāo)適合直線x+2y-5=0方程，因此直線被圓截得的線段AB是圓C的直徑．再由數(shù)量積=0，得到OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，從而得到原點(diǎn)O在圓C上．將原點(diǎn)坐標(biāo)代入圓C方程即可得到實(shí)數(shù)m 的值．
解答：將圓x²+y²+2x-6y+m=0與x+2y-5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得：（x+1）²+（y-3）²=10-m．
∴圓x²+y²+2x-6y+m=0的圓心為C（-1，3），半徑r=
∵點(diǎn)C（-1，3）恰好在直線x+2y-5=0上，∴線段AB是圓C的直徑
又∵直線x+2y-5=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，且=0
∴OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
因此，得到原點(diǎn)O在圓C上．
∴將O（0，0）代入圓C的方程，得m=0
故答案為：0
點(diǎn)評：本題給出直線被圓截得的弦AB與原點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，來求字母參數(shù)m的值，著重考查了直線與圓位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識點(diǎn)，屬于中檔題．