Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≥

3n

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：首先題目要求應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗(yàn)證第一項(xiàng)是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)候結(jié)論成立，去驗(yàn)證n=k+1時(shí)候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答：證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立；
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立；
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊≥

3k

2k+1

+

1

(k+1)2

，
下證：

3k

2k+1

+

1

(k+1)2

≥

3(k+1)

2(k+1)+1

，
作差得

3k

2k+1

+

1

(k+1)2

-

3(k+1)

2(k+1)+1

=

k(k+2)

(k+1)2(2k+1)(2k+3)

＞0，
得結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，根據(jù)歸納原理，不等式成立．
即得證．

點(diǎn)評：此題主要考查的是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題目，同學(xué)們做題的時(shí)候要注意分析題目要求切忌不能用別的方法證明．