（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB邊上異于AB的一點，光線從點P出發(fā)，經BC，CA反射后又回到點P（如圖1），若光線QR經過△ABC的重心，則AP等于（　�。�
分析：建立坐標系，設點P的坐標，可得P關于直線BC的對稱點P1的坐標，和P關于y軸的對稱點P2的坐標，由P1，Q，R，P2四點共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關于a的方程，解之可得P的坐標，進而可得AP的值．
解答：解：建立如圖所示的坐標系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
△ABC的重心為（
0+0+4
3
，
0+4+0
3
），設P（a，0），其中0＜a＜4，
則點P關于直線BC的對稱點P1（x，y），滿足
a+x
2
+
y+0
2
=4
y-0
x-a
•(-1)=-1
，
解得
x=4
y=4-a
，即P1（4，4-a），易得P關于y軸的對稱點P2（-a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點共線，
直線QR的斜率為k=
4-a-0
4-(-a)
=
4-a
4+a
，故直線QR的方程為y=
4-a
4+a
（x+a），
由于直線QR過△ABC的重心（
4
3
，
4
3
），代入化簡可得3a2-4a=0，
解得a=
4
3
，或a=0（舍去），故P（
4
3
，0），故AP=
4
3

故選D
點評：本題考查直線與點的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應用，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b．若2asinB=
3
b，則角A等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）在平面直角坐標系xOy中，若直線l：
x=t
y=t-a
，（t為參數(shù)）過橢圓C：
x=3cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)）的右頂點，則常數(shù)a的值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”．某地有三個新建居民區(qū)，分別位于平面xOy內三點A（3，20），B（-10，0），C（14，0）處．現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心．
（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；
（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）在平面直角坐標系xOy中，若直線l1：
x=2s+1
y=s
（s為參數(shù)）和直線l2：
x=at
y=2t-1
（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為
4
4
．

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