Question

某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢正以每分鐘100 m²的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到警報(bào)立即派消防員前去，在火災(zāi)發(fā)生后五分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火50 m²，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而燒毀1 m²森林損失費(fèi)為60元，問應(yīng)該派多少消防員前去救火，才能使總損失最少？

Answer 1

分析：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)最值問題，利用基本不等式求最值或利用導(dǎo)數(shù)求最值

解答：解：設(shè)派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y元，則
t=

5×100

50x-100

=

10

x-2

，
y=滅火材料、勞務(wù)津貼+車輛、器械、裝備費(fèi)+森林損失費(fèi)
=125tx+100x+60（500+100t）
=125x•

10

x-2

+100x+30000+

60000

x-2

方法一：y=1250•

x-2+2

x-2

+100（x-2+2）+30000+

60000

x-2

=31450+100（x-2）+

62500

x-2

≥31450+2

100×62500

=36450，
當(dāng)且僅當(dāng)100（x-2）=

62500

x-2

，
即x=27時(shí)，y有最小值36450．
答：應(yīng)該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元、
方法二：y′=

1250(x-2-x)

(x-2)2

+100-

60000

(x-2)2

=100-

62500

(x-2)2

，
令100-

62500

(x-2)2

=0，
解得x=27或x=-23（舍）
當(dāng)x＜27時(shí)y′＜0，當(dāng)x＞27時(shí)y′＞0，
∴x=27時(shí)，y取最小值，最小值為36450元，
答：應(yīng)該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．

點(diǎn)評(píng)：①本題考查閱讀理解的能力
②利用基本不等式求最值湊定值的能力
③利用導(dǎo)數(shù)求最值的能力