Question

求拋物線y＝x²與直線x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)分割 　　在區(qū)間[0，1]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間：[0，]，[，]，…，[，1]． 　　記第i個區(qū)間為[，](i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝－＝． 　　分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn． 　　S＝ΔSi． 　　(2)近似代替 　　記f(x)＝x2．如圖(3)，當n很大，即Δx很小時，在區(qū)間[，]上，可以認為函數(shù)f(x)＝x2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它近似地等于左端點處的函數(shù)值f()．就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間[，]上，用小矩形的面積Δ近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有 　　ΔSi≈Δ＝f()Δx＝()2·Δx 　　＝()2·(i＝1，2，…，n)． 　　(3)求和 　　由①，得Sn＝Δ＝f()Δx＝()2· 　�。絒0·＋()2·＋…＋()2·] 　�。絒12＋22＋…＋(n－1)2] 　　＝ 　�。�(1－)(1－)． 　　從而得到S的近似值 　　S≈Sn＝(1－)(1－)． 　　(4)取極限 　　分別將區(qū)間[0，1]等分成8，16，20，…等份〔如圖(5)〕，可以看到，當n趨向于無窮大，即Δx趨向于0時，Sn＝(1－)(1－)趨向于S，從而有 　　S＝Sn＝f() 　�。�(1－)(1－) 　　＝．