Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：

a1+2a2+3a3+…+nan

n

=

(an+1)an

3

(n∈N*)．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：

1

lna1

+

1

lna2

+…+

1

lnan-1

≤

ln(a1×a2×…×an-1)

lna1×lnan-1

．

Answer 1

分析：（1）利用已知可得：a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜測(cè)：a_n=n+1．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）由于a_n=n+1，即證：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

≤

ln(2×3×…×n)

ln2lnn

=

ln2+ln3+…+lnn

ln2lnn

．對(duì)k=1，2，…，n-2，令fk(x)=

ln(x+k)

lnx

(x＞1)，利用導(dǎo)數(shù)可得

f

′ k

(x)＜0，因此f_k（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．由n-k≥2，得f_k（n-k）≤f_k（2），即

lnn

ln(n-k)

≤

ln(2+k)

ln2

．即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜測(cè)：a_n=n+1．
下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1+1=2，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即a_k=k+1，
由條件a1+2a2+3a3+…+nan=

n(an+1)an

3

，
∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

(n-1)(an-1+1)an-1

3

(n≥2)，
兩式相減得：nan=

n(an+1)an

3

-

(n-1)(an-1+1)an-1

3

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)ak+1=

(k+1)(ak+1+1)

3

-

k(ak+1)ak

3

⇒

a

2 k+1

-2ak+1-k(k+2)=0，
∴a_k+1=k+2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
故對(duì)一切的n∈N^*，a_n=n+1成立．
（2）∵a_n=n+1，即證：

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

≤

ln(2×3×…×n)

ln2lnn

=

ln2+ln3+…+lnn

ln2lnn

對(duì)k=1，2，…，n-2，令fk(x)=

ln(x+k)

lnx

(x＞1)，則

f

′ k

(x)=

xlnx-(x+k)ln(x+k)

x(x+k)ln2x

，
顯然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），∴xlnx＜（x+k）ln（x+k），
∴

f

′ k

(x)＜0，∴f_k（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
由n-k≥2，得f_k（n-k）≤f_k（2），即

lnn

ln(n-k)

≤

ln(2+k)

ln2

．
∴l(xiāng)n2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．
∴2(

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

)
=(

1

ln2

+

1

lnn

)+(

1

ln3

+

1

ln(n-1)

)+…+(

1

lnn

+

1

ln2

)
=

lnn+ln2

ln2lnn

+

ln(n-1)+ln3

ln3ln(n-1)

+…+

ln2+lnn

ln2lnn

≤

lnn+ln2

ln2lnn

+

ln(n-1)+ln3

ln2lnn

+…+

ln2+lnn

ln2lnn

=2(

ln2+ln3+…+lnn

ln2lnn

)．
即

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

≤

ln(2×3×…×n)

ln2lnn

=

ln2+ln3+…+lnn

ln2lnn

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．