Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA₁=b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB₁，CC₁上，且，．設(shè)．若平面AEF⊥平面A₁EF時，求λ的值．

Answer 1

解：
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
∵，，
∴．
設(shè)平面AEF的法向量為n_{1（x，y，z）}，
則，且．
即，且．令z=1，則．
∴=是平面AEF的一個法向量．
同理，=是平面A₁EF的一個法向量．
∵平面AEF⊥平面A₁EF，∴n₁•n₂=0．
∴．解得，．
∴當(dāng)平面AEF⊥平面A₁EF時，．（10分）
分析：這是一直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，所以可以借助于建空間直角坐標(biāo)系，利用面面垂直，可得法向量垂直來解題．進(jìn)而可求λ的值．
點(diǎn)評：本題以一個簡單的直三棱柱為載體，考查空間面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，試題的難度適中，能有效檢測學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度和分析問題，解決問題的能力．