Question

在△ABC中，若S_△ABC=c²-（a-b）²，且a+b=1，
（1）求cosC；
（2）求S_△ABC的最大值．

Answer 1

解：由面積公式S_△ABC=absinC代入條件S_△ABC=c²-（a-b）²，得
absinC=c²-（a-b）²，
余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
absinC=c²-（a-b）²，化為 absinC=2ab（1-cosC）
∴=，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由cos²C+sin²C=（1-k）²+（4k）²=1，得k=，
∴sinC=4k=．
∴cosC=1-k=．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴S=absinC=ab≤•=，當且僅當a=b=時，S_max=．
所以三角形面積的最大值為：．
分析：（1）利用余弦定理及三角形的面積公式化簡S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinC的值，然后求出cosC的值；
（2）根據(jù)a+b=1，利用基本不等式即可求出面積S的最大值．
點評：此題考查學生靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．